数学培优教程

    序
前言
第1讲直线与圆1
第2讲椭圆15
第3讲双曲线35
第4讲抛物线56
第5讲参数方程与极坐标79
第6讲解析几何综合问题94
第7讲排列与组合108
第8讲二项式定理与组合恒等式121
第9讲概率与统计130
第10讲不等式的解法143
第11讲证明不等式的方法与技巧156
第12讲重要不等式170
第13讲凸函数与琴生不等式181
第14讲导数及其应用194
第15讲复数的概念、运算与几何意义208
第16讲复数三角形式、单位根及其应用217
第17讲与圆有关的问题226
第18讲平面几何中的著名定理243
第19讲几何变换258
第20讲整除与同余271
第21讲数论中的重要定理280
第22讲简单的组合问题288
同步训练详解296

    本书以高考数学难题、大学自主招生和靠前外高中数学竞赛为背景，按照普通高中数学课程的进度，分专题编写，内容的安排力求与课堂教学同步，在夯实基础的同时，通过新颖、有趣的数学问题，构建通往高考数学、大学自主招生和高中数学竞赛的捷径，在有利于学生把高中数学教材的知识巩固深化的同时，恰到好处地为学生拓宽有关自主招生和数学竞赛的知识，以高考数学、大学自主招生和高中数学竞赛中的热点、难点问题为载体，介绍数学竞赛

    从1985 年我国第一次派队参加国际奥林匹克数学竞赛( 简称IMO)以来, 中国代表队参加了32 次IMO, 19 次团体总分居第一位( 有11 次6人都获得金牌) , 8 次第二, 第三、四、六、八名各1 次, 188 人次参赛,共获得金牌147 块、银牌33 块、铜牌6 块. 早在1994 年, 中国科学院数学物理学部王梓坤院士就写道: ( 近年来我国中学生在IMO 中) “ 连续获得团体冠军, 个人金牌数也名列前茅, 消息传来, 全国振奋. 我国数学,现在有能人, 后继有强手, 国内外华人无不欢欣鼓舞.” 这对青少年学好数学无疑是极大的鼓舞和鞭策, 极大地激发了青少年学习数学的兴趣.为了给对数学感兴趣的高中资优生等提供一个培养创新意识和提高解题能力的平台, 我们( 朱华伟、程汉波、涂玉平、蒋太煌、张雷、符开广、范端喜、宋红军) 以高考数学、大学自主招生考试和国内外高中数学竞赛为背景, 根据多年辅导高中数学资优生参加高考、大学自主招生考试和高中数学竞赛所积累下来的经验、体会和素材, 编写了本书.本书根据普通高中数学课程的进度分专题编写, 在内容的安排上力求与课堂教学同步, 采用从课内到课外逐步延伸扩充、由浅入深、由易到难、循序渐进的教学方法; 在夯实基础的同时, 通过新颖、有趣的数学问题, 构建通往高考、大学自主招生和高中数学竞赛的捷径; 在力所能及的范围内帮助学生扩展知识视野, 提高思维能力; 在有利于学生把高中数学教材的知识巩固深化的同时, 又恰到好处地为他们拓宽有关自主招生和数学竞赛的知识; 以高考数学、大学自主招生和高中数学竞赛中的热点、难点问题为载体, 介绍数学竞赛中令人耳目一新的解题方法与技巧, 激发学生创新与发现的灵感, 帮助学生开发潜力, 提高水平.本书以专题讲座的形式编写, 每讲的主要栏目有:Ⅶ  数学名言欣赏: 以名人名言开宗明义, 开启每讲的数学学习之旅.知识方法扫描: 详细归纳相关的知识、方法与技巧, 突出重点、难点和考点. 例如, “ 递推数列” 一讲, 既阐述了递推数列的定义, 也归纳了递推数列的题型分类与解法, 多种典型解法一一罗列.典型例题剖析: 含“ 分析” “ 解” 和“ 评注” , 例题总数控制在8 道,由基础题(3 道高考难度的试题) 、提高题( 4 道自主招生或全国高中数学联赛初试难度的试题) 、综合题( 1 道全国高中数学联赛加试难度的试题) 组成. 书中很多题目在解答之后会附有评注, 评注的作用是对某些问题或解答过程中未尽之处进行阐述分析, 起到画龙点睛的效果; 对可进一步深入研究的问题予以拓展, 意在引导学生去创新思维; 对一题多解的问题提出相关的解法, 沟通特技与通法之间的联系. 总之, 评注的目的在于, 一方面揭示问题的背景和来源, 另一方面启迪学生发现、解决问题的思路及通过合理猜测提出新问题的方法, 使学生不仅知其然, 更知其所以然, 以期达到授之以渔的目的.同步训练: 每一讲的同步训练含选择题( 或填空题) 、解答题, 为方便自学, 每题均给出了详细的解答过程, 每道选择题或填空题都由问题、答案、解析三个环节组成.本书注重数学基础知识的巩固提高和数学思想方法的渗透, 凸显科学精神和人文精神的融合, 加强对学生学习兴趣、创新精神、应用意识和分析问题解决问题能力的培养. 学生通过对本书的学习, 能够发现数学的美丽和魅力, 体会数学的思想和方法, 感受数学的智慧和创造力, 体验经过不懈的探索而获得成功的兴奋和快乐, 进而激发学习数学的兴趣.数学大师陈省身教授为2002 年8 月在北京举行的第24 届国际数学家大会题词: “ 数学好玩.” 我们深信本书能让读者品味到数学的无穷乐趣.著名数学家陈景润教授说得好: “ 数学的世界是变换无穷的世界, 其中的乐趣只有那些坚持不懈的人才能体会到!”    在本书的编写过程中, 参考并引用了有关资料中的优秀题目, 为求简明, 书中未一一注明出处, 在此, 向原题编者表示感谢. 由于笔者水平有限, 书中难免会有疏漏或错误之处, 诚挚欢迎读者批评与指正.本书是高中生参加数学竞赛的入门教程, 是向重点大学冲刺、破解自Ⅷ  主招生和高考数学压轴题的宝典, 是高中数学教师做高考难题和数学竞赛辅导的益友.2017 年8 月